Ⅰ. 서 론
무선 통신 기기에서 채널 주파수를 변경할 때에 위상 에러를 없애기 위해서는 타입-2(Type-2) 이상의 PLL(위상고정루프, Phase Lock Loop)을 사용한다[1]. 예를 들어 델타-시그마 변조기(Δ - Σ modulator)를 채용한 통신용 주파수 합성기로는 타입-2의 4차 PLL이 사용되었으며[2] 모든 극점과 영점을 정하는 최적화 모델이 제시되었다[3]. 또한 타입-2, 4차 PLL에 대한 설계에서 타입-2, 3차 PLL과 루프 자연 주파수와 위상여유를 같게 되도록 하는 방법이 제 시되었다[4].
한편 지능형 교통 시스템에 사용하기 위한 FMCW (Frequency Modulation Continuous -Wave) 레이다에 대한 연구가 활발하다[5-6]. 그런데 FMCW 레이다 에서 주파수 램프(Ramp)를 트래킹하기 위하여는 타 입-3의 PLL이 필요하다. 또한 주파수 램프는 도플 러 효과에 의하여 이동하는 통신기에서도 발생할 수 있다. 그러나 타입-3 PLL에 대한 상세한 설계 방 법이나 설계 가이드는 공지되어 있지 못한 실정이 다. 예를 들어 종래 방식의 타입-2 PLL보다 짧은 정 착시간과 빠른 로킹(Locking) 시간을 얻기 위하여 Gm-C 구조의 타입-3 PLL을 사용하였으나 주파수 계단이나 주파수 램프에 대한 응답에 관한 내용은 언급하지 않았다[7]. Self-tuning의 타입-3 PLL[8]에 서도 코너 주파수를 크로스오버 주파수의 0.1과 0.01배가 되도록 하였지만 그렇게 한 근거가 설명 되어 있지 않다. 또한 고차 고타입 PLL에서의 위상 여유(Phase margin)에 대한 분석을 동적 특성과 연 관시키지는 못하였다[9]. 마찬가지로 PLL에 대하여 상세히 기술한 Crawford [1]와 Meyr [10]는 각각 타 입-2와 타입-3의 유사성에 대하여 설명하고 있지만 타입-3 PLL의 설계 방법이나 설계 가이드를 제대로 보여주지 않고 있다. 그러므로 본 논문에서는 FMCW 레이다에서 주파수 램프를 위상에러 없이 트래킹하기 위하여 타입-3 PLL을 설계할 때 고려해야 할 설계 가이드를 제시한다.
Ⅱ. FMCW 레이더용 타입-3 PLL의 필요성
FMCW 레이더에서 FM(Frequency Modulation)은 레이더에서 발사되는 신호의 주파수를 시간에 대하 여 직선적으로 증가 혹은 감소시키는 것을 뜻한다. 즉 FMCW 레이더의 주파수합성기는 주파수 램프 신 호를 발생시킨다. 주파수 램프의 선형성은 FMCW 레이더의 거리 분해능을 결정하는 중요한 특성이다 [11]. 주파수합성기는 PLL로 구성하는데 PLL의 타입 과 입력 형태에 대한 정상상태(Steady state)에서의 위 상 에러는 <표 1>과 같다[10]. PLL의 타입은 PLL의 루프이득의 분모에 있는 s의 차수, 즉 원점에 있는 루프이득의 극점의 개수와 같다. 예를 들어 타입-3 PLL은 루프이득의 분모가 s3이다(이 PLL은 3차이므 로 타입-3, 3차 PLL이다). 이 표로 부터 FMCW 레이 더에서 입력이 주파수 램프일 때 PLL이 타입-2이면 유한한 위상 에러가 발생하고 PLL이 타입-3이면 위 상 에러를 0으로 할 수 있음을 알 수 있다.
참고문헌[12]에서는 송신하는 신호의 주파수가 일정하더라도 선박이 롤링할 때 도플러 효과에 의 하여 선박에 부착된 수신 안테나에서 수신되는 신 호에서 주파수 램프가 발생되며, 마찬가지로 GPS 위성이 지구 주위를 회전할 때나 자동차나 항공기 가 가속될 때도 주파수 램프가 발생되고 이때 타입 -2 PLL에서는 tracking 에러가 발생함을 지적하였다. 마찬가지로 Gardner[13]는 3차 루프(타입-3을 의미함) 는 2차 루프에 비하여 위성이나 미사일을 tracking하 는데 매우 유용하다고 하였다.
마찬가지 원리로 Lewis 등[14]은 위성이 일정한 고도와 일정한 속도로 상공을 통과할 때 지상 시스 템의 위상에러가 차수(타입을 의미함)가 높을수록, 즉 타입-2보다 타입-3가, 타입-3보다 타입-4일 때, 작음을 보였다.
한편 Pichler 등[15]은 FMCW 센서의 주파수합성 기에 통상 2차나 3차의 루프필터(즉 PLL은 타입-2 이면서 3차 혹은 4차가 됨을 의미함.)가 사용된다고 간략히 서술하였다. 이외에 FMCW 레이더용 PLL에 대한 참고문헌은 저자들의 많은 노력에도 불구하고 저자들은 발견하지 못하였다.
그러므로 Pichler 등[15]의 서술에도 불구하고 Meyr 등[10], Stephens 등[12], Gardner[13], Lewis 등[14]에 의하면 FMCW 레이더에서 위상에러가 발생하는 것 을 방지하기 위해서, 특히 FMCW 레이더 혹은 검출 하고자 하는 물체가 가속 혹은 감속될 때 위상에러 를 감소시키기 위해서는, 타입-3의 PLL이 필요함을 알 수 있다.
Ⅲ. 위상 여유의 결정
타입-3 PLL 은 원점에 3개의 극점을 가지므로 이 극점들이 270도의 위상지연을 일으킨다. 그러므로 위상여유를 갖기 위해서는 2개의 영점을 가져야 하 며 개루프 전달함수 GOL (s) 는 다음과 같다.
그러므로 타입-3 PLL의 특성은 K와 영점 각주파 수 ω2와 ω3에 의하여 결정된다. 본 논문에서는 영 점 각주파수의 위치에 따른 PLL 특성을 조사하기 위하여 개루프 전달함수의 크로스오버 주파수를 1 Hz로 정규화하고 영점 각주파수를 변화시켜 보도 록 한다.
개루프 전달함수 GOL (s) 의 크로스오버 각주파 수를 ω1이라 할 때
이므로
이고 개루프 전달함수는 다음과 같이 표시된다.
이 개루프 전달함수를 Pspice를 사용하여 시뮬레이 션하기 위하여 <그림 1>과 같이 4 개의 블록(전달함수 가 -1/s인 반전 적분기, 전달함수가 -(1+sRs2)/s인 영점 을 갖는 반전 적분기, 전달함수가 -(1+sRs3)/s인 영점 을 갖는 반전 적분기, 이득이 인 반전 증폭기)으로 구성되는 선형 모델을 사용하 였다.
두 개의 영점이 겹치면(τ2 = τ3 ) 개루프 전달함수는 다음과 같이 간단한 형태가 된다.
한편 개루프 전달함수의 위상여유는 다음과 같다.
두 개의 영점이 겹쳐있을 때 위상여유는 다음과 같이 표현된다.
두 개의 영점이 겹쳐있을 때 크로스오버 각주파 수 ω1와 영점 각주파수 ω2가 같으면 위상여유가 0 도(위상이 -180도)에 가까워지고 영점 각주파수 ω2 가 ω1보다 작아질수록 위상여유가 커진다. <표 2> 에는 두 개의 영점이 겹쳐있는 경우 대표적인 위상 여유의 값과 이에 해당하는 크로스오버 각주파수와 영점 각주파수의 비 ω2/ω1를 보였다.
<그림 2ì에는 크로스오버 주파수 f1 이 1 Hz로 같으며 위상여유가 각각 30°, 45°, 60°, 75°일 때의 개루프 전달함수 GOL (s) 의 크기와 위상을 나타내 었다. 낮은 주파수에서는 크기가 -60dB/dec의 기울 기로 감소하며 높은 주파수에서는 -20dB/dec의 기 울기로 감소한다. 당연히 영점주파수가 작을수록 위상여유가 크다.
크기 그래프에서 모든 곡선이 1 Hz에서 0 dB의 점을 지나며 위상 그래프에서 주파수가 1 Hz일 때 위상여유가 각각 30°, 45°, 60°, 75° 임을 확인할 수 있다.
폐루프 전달함수 H1 (s)는 다음과 같다.
<그림 3>은 폐루프 전달함수 H1 (s) 의 크기와 위 상을 보인다. 위상여유에 따라 이득피킹(Gain peaking)이 0.4 Hz내지 0.8 Hz 부근에 존재하며 위 상여유가 작을수록 이득피킹이 큼을 알 수 있다. 3 dB 대역폭은 모두 2Hz이다. 개루프 전달함수 GOL (s) 의 크기가 주파수에 대하여 단조 감소함에도 폐루프 전달함수 H1 (s) 의 크기에 이득 피킹이 존재하는 것을 주목할 만하다.
<그림 4>는 위상의 계단입력에 대한 과도 응답 을 나타낸다. 위상여유가 작을수록 overshoot와 ringing이 크다. <그림 5>에서는 <그림 4>의 settling 특성을 상세히 보기 위해서 시간 범위를 10초까지 나타내었으며 출력 범위를 +/-0.1%로 하였다. 위상 여유가 75°와 60°일 때는 최종값에 너무 느리게 접 근하며 위상여유가 30°일 때는 ringing이 너무 심하 다. 위상여유가 45°일 때 ringing이 존재하기는 하지 만 최종값에 가장 빨리 도달하며 4초 경과후에 에 러는 0.07%이하이며 5초 경과후에는 0.01%이하이 다. 즉 크로스오버 주파수가 1 Hz이고 위상여유가 45° 이면 위상의 계단입력에 대하여 5초 후에는 거 의 완전히 트래킹된다.
Ⅳ. 영점 위치의 결정
위의 결과에 의하여 위상여유는 45°로 결정하며 지금부터는 일단 두 개의 영점 주파수를 같게 한다 는 조건을 버리고 두 개의 영점 주파수를 다르게 하 여 과도특성을 비교해 본다. 과도특성 시뮬레이션에 서는 Pspice 시뮬레이션 조건에 주의하여야 했다. Options에서 Relative accuracy of V's를 0.00005로 낮 추고 Maximum step은 10m으로 하였다. 또한 주파수 램프를 만들기 위하여 위상 램프를 만들 때 라플라 스 블록을 사용하면 결과가 정확하지 않음을 발견하 였으며 시뮬레이션 결과의 정확성에 주의하였다.
<표 3>에는 위상 여유가 45°가 되는 3가지 경우 를 나타내었다. 3가지 경우는 각각 두 개의 영점에 의한 식 (5)의 위상앞섬 tan-1 (ω1τ2) 과 tan-1 (ω1τ3) 이 (경우 1) 공통적으로 67.5°일 때 (경우 2) 각각 60° + 75°일 때 (경우 3) 각각 52.5° + 82.5°일 때 이 다. 3가지 경우에 두 개의 영점 각주파수 중에서 높 은 영점 각주파수 ω2는 크로스오버 각주파수 ω1에 비하여 각각 0.41, 0.58, 0.77 배가 된다. 낮은 영점 각주파수 ω3는 크로스오버 각주파수 ω1에 비하여 각각 0.41, 0.27, 0.13 배가 된다. 이렇게 영점을 변 화시켰을 때 시뮬레이션에 사용한 적분기 피드백 루프의 저항값 Rs2 및 Rs3와 증폭기의 이득의 분모 항을 <표 2>에 참고적으로 나타내었다. 이제부터의 그림에서는 파라메터로서 τ대신 Rs의 값으로 표시 하였다.
<그림 6>은 위상여유가 모두 45°이면서 영점의 위치를 <표 2>에서와 같이 변화시켰을 때 계단입력 에 대한 결과이다. <그림 6>에서 영점의 위치가 떨 어져 있을수록 위상이 아래 쪽으로부터 점근하여 느리게 정착하는 모습을 보여주며, 5초 부근에서는 마치 Rs2=0.28, Rs3=0.59일 때가 위상 에러가 작아 보 이지만, 6초 이후에는 영점이 겹쳐있는 경우가 가 장 빨리 정착한다.
주파수 계단입력(위상램프 입력)일 때 위상은 다 음과 같이 표시된다.
여기서 Δf는 주파수 계단을 나타내며 시뮬레이션 에서는 1 Hz로 하였다. <그림 7>에는 Rs2=0.28, Rs3=0.59일 때 주파수 계단입력에 대한 출력 위상과 위상 에러를 보였다. <그림 7>의 아래 그림에서 출력 위상은 식 (8)의 입력에 대하여 거의 직선적으로 트래 킹하며, 위상 에러를 확대하여 보인 윗 그림으로부터 6초 후에는 위상에러가 0.01%이하임을 알 수 있다.
<그림 8>은 영점이 겹쳤을 때의 주파수 계단입 력에 대한 출력 위상과 위상 에러를 나타낸다. <그림 7>에 비하여 6초 후에는 위상 에러가 거의 완전 히 소멸하였음을 알 수 있다. 이로써 주파수 계단입 력에 대하여 영점이 겹쳤을 때가 더욱 우수한 특성 을 갖음을 알 수 있다.
주파수 램프 입력일 때 위상입력은 다음과 같이 표시된다.
시뮬레이션에서 주파수 램프의 소스로는 전압 램프의 소스에 반전적분기와 이득이 -1인 증폭기를 연결하여 사용하였다.
<그림 9>에는 Rs2=0.28, Rs3=0.59일 때 기울기가 1 Hz/s인 주파수 램프가 입력될 때의 출력 위상과 위상 에러를 보였다.
아래 그림의 출력 위상은 식 (9)의 포물선에 트 래킹한다. 위상 에러를 가운데 그림에 나타내었으며 윗 그림에는 위상 에러의 좁은 범위를 확대하여 나타 내었다. 위상에러를 확대한 윗 그림에서 위상에러 는 10초 후에 2.6X10-5 (rad) 으로 정착한다.
<그림 10>은 영점이 겹쳤을 때의 <그림 9>에서 와 같은 기울기의 주파수 램프입력에 대한 출력 위 상과 위상 에러를 나타낸다. 영점이 떨어져 있을 때 에 해당하는 <그림 9>의 결과와 거의 비슷하지만 10초 후의 위상에러는 2.1X10-5 (rad)으로 정착하여 더욱 우수한 특성을 얻을 수 있음을 알 수 있다.
이상적으로는 타입-3 루프일 때 주파수 램프 입 력에 대한 과도응답의 최종값은 영이 되어야하지만 <그림 9>와 <그림 10>에서 영이 아닌 유한한 값으 로 정착하고 있다. 그 이유는 <그림 1>의 적분기에 사용한 GAIN 소자의 이득이 유한하기 때문이다. (<그림 1>에서 GAIN은 100 dB로 하였음.) 이상적인 적분기는 저주파로 갈수록 이득이 증가해야 하지만 주파수 합성기를 실질적인 OPA를 사용하여 구현하 는 경우에 적분기의 이득은 OPA의 개루프 이득에 의 하여 제한된다. 즉 OPA를 사용하는 적분기는 실질적 으로는 차단주파수가 낮은 저역통과필터로 작동한다. 시뮬레이션에 사용된 <그림 1>의 GAIN 소자의 이득 을 증가시키면 최종값은 실질적으로 영이 된다.
Ⅴ. 타입-3 PLL의 설계 가이드
이상의 시뮬레이션 결과로부터 타입-3 PLL의 설 계 가이드를 다음과 같이 제시한다.
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위상 여유를 45도로 한다.
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두 개의 영점은 같도록 한다.
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개루프 전달함수의 크로스오버 주파수가 1 Hz 일 때 PLL의 대역폭은 2 Hz가 된다.
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개루프 전달함수의 크로스오버 주파수가 1 Hz 일 때 주파수 램프에 대한 위상정착은 10초 후에 이루어진다.
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PLL의 잡음을 제거하기 위하여 루프필터에 극 점을 추가하는 경우, 즉 PLL을 4차나 5차로 하 는 경우, 극점 주파수를 개루프 전달함수의 크 로스오버 주파수보다 10배 정도 크게 하여야 한다. 이때 추가된 극점에 의한 영향은 작으며 위에서 설명한 PLL의 특성은 거의 유지된다.
Ⅵ. 결 론
FMCW 레이더에서 주파수 램프 신호를 발생시키 기 위하여 필요한 타입-3 PLL의 설계 가이드를 제 시하였다. 그러기 위해서 개루프 전달함수의 크로스 오버 주파수를 1 Hz로 정규화 함으로써 PLL의 대역 폭을 같도록 하였으며 Pspice 시뮬레이션을 통하여 영점의 위치에 대한 특성을 비교하였다. 결론적으로 타입-3 PLL의 위상여유는 45도로 하고 두 개의 영 점은 같도록 하며 차수를 높이기 위한 극점은 개루프 전달함수의 크로스오버 주파수보다 10배 정도 크게 할 것을 권한다. 이 설계 가이드에 의한 FMCW 레 이더용 주파수 합성기의 개발이 기대된다.